Родился 24 мая 1949 года в селе Галиевка Богучарского района Воронежской области.

Окончил Воронежский политехнический институт и Академию народного хозяйства при Правительстве Российской Федерации.

Свою трудовую деятельность начал с 1972 года в НПО «Электроника», где работал на инженерных и руководящих должностях.

Затем был избран секретарем Железнодорожного райкома ВЛКСМ.

С 1979 года в течение 30 лет работал в органах исполнительной власти города Воронежа и области: заместителем председателя исполкома Железнодорожного районного совета народных депутатов г. Воронежа, председателем Ленинского райисполкома Воронежа, первым заместителем председателя, а затем председателем Воронежского горисполкома.

В 1992 году стал главой администрации г. Воронежа, одновременно с 1994 года возглавлял муниципальный Совет г. Воронежа.

В 1995 году стал первым всенародно избранным главой города. 

В 1996 году назначен на должность главы администрации г. Воронежа.

С октября по декабрь 1996 г. – глава администрации Воронежской области.

В 1997 году избран главой местного самоуправления г. Воронежа.

С 2001 по апрель 2009 гг. – заместитель губернатора Воронежской области-руководитель департамента архитектуры и строительной политики Воронежской области, курировал вопросы энергетики, газоснабжения, строительства, архитектуры, ЖКХ, дорожного хозяйства.

Многолетняя и ответственная работа на всех уровнях управления г. Воронежа отмечена значимыми результатами в жизни города и горожан. В социальной сфере это строительство объектов здравоохранения и народного образования, среди которых БСМП и роддом больницы Электроника, Дворец Детей и Юношества, ДК Электроника, новый драмтеатр. Значительное развитие получили дорожная и транспортная сети города: одним из новых символов Воронежа стала Петровская набережная с Адмиралтейской площадью и Успенским собором, окружная дорога ул. Лебедева – Ильюшина, появились первые дорожно-транспортные развязки, сооружены подземные и надземные переходы; завершено строительство Северного и Чернавского мостов. Внесен значительный вклад в культурную, патриотическую и духовную сферу городской жизни.

Александр Николаевич является председателем попечительского совета театра кукол «Шут» г. Воронежа, членом Совета руководителей органов местного самоуправления при Правительстве РФ, членом правления Союза российских городов, вице-президентом Ассоциации городов Юга России, членом президиума Конгресса муниципальных образований РФ.

Заслуги Цапина Александра Николаевича в возрождении православной культуры отмечены двумя орденами Русской Православной Церкви и грамотой патриарха Кирилла.

Плодотворная деятельность А.Н. Цапина получила заслуженное признание: В 1996 году награжден орденом Дружбы «за большой вклад в социально-экономическое развитие города и укрепление дружбы и сотрудничества между народами»; отмечен благодарностями Президента РФ Б.Н. Ельциным и В.В. Путиным; удостоен званий «Почётный строитель Российской Федерации», «Почетный работник жилищно-коммунального хозяйства Российской Федерации».